3. Panorama sobre a situação atual do ensino dos números e a história dessa evolução até a condição atual que se mostra, bem como, como se apresenta hoje em termos de ensino e de aprendizagem
Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e tinham como finalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam.
O conjunto dos números inteiros positivos recebe o nome de conjunto dos números naturais. Sendo ele:
={0,1,2,3,4,5,6…}Enquanto que o conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos, constituindo o seguinte conjunto:
={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas, etc. Sua importância é indiscutível.
A numeração escrita nasceu, nas épocas mais primitivas, do desejo de manter registros de gado ou outros bens, com marcas ou traços em paus, pedras, etc., aplicando o princípio da correspondência biunívoca.
Os sistemas de escrita numérica mais antigos que se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 3500 a.C.
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.
Um exemplo, de um número escrito em símbolos egípcios é dado abaixo:
Escrevemos esse número da esquerda para a direita, embora os egípcios escrevessem em uma ou outra direção, dependendo do documento.
Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal, mas também um sistema sexagesimal ( isto é, base 60).
Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas.
No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos.
O símbolo para 100 era composto por traços: e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:
Também empregava, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60.
Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo.
Como este símbolo não era de uso frequente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambiguidades.
Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa. A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para auxiliar nos cálculos.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Não existem documentos que datem com precisão a origem da matemática. Essa ciência, fundamental em todos os ramos das atividades desde os tempos mais remotos até hoje, não é obra do acaso, nem tampouco descoberta de um único povo.
Na verdade, a matemática atual é fruto de um longo processo evolutivo que acompanhou toda a história da humanidade e cuja origem centra-se nos conceitos de número, grandeza e forma.
É impossível saber exatamente como tudo começou, mas uma coisa é certa os homens não inventaram os números para depois aprenderem a contar, pelo contrário, os números foram se formando lentamente, pela prática diária das contagens. Também não há dúvida de que o número é uma invenção da humanidade e não apenas de alguns poucos homens.
Alguns pesquisadores levantam a probabilidade de que no início nossos antepassados só contassem até dois, mais do que isso era dado como "muitos". Embora de maneira bastante primitiva, a ideia de quantidade começava a surgir e com essa ideia a noção de certo censo numérico.
Com o passar do tempo o homem percebeu que podia associar os dedos da mão à quantidade de elementos de um conjunto, assim nossas mãos foram à primeira "máquina de calcular", uma prova disso é que até hoje em certas tribos do Pacífico o número é expresso pela mão , quando querem dizer dez dizem duas mãos e o número vinte é representado por um homem completo, indicando que depois de contar os dedos da mão passou-se a usar os dedos dos pés.
Nessa tribo localizada no Pacífico o sistema de numeração tinha a seguinte nomenclatura:
· O um era chamado tai,
· O dois era lua,
· O três era tolu,
· O quatro era vari,
· O cinco era iuna (que significa mão),
· O seis era otari (mão mais um),
· O Sete era olua (mão mais dois),
· O oito era otolu (mão mais três),
· O Nove era ovari (mão mais quatro),
· O dez era iuna iuna (duas mãos).
Percebemos que o sistema usado tem base cinco, usando os dedos o homem primitivo podia contar grupos de até vinte elementos, porém a medida que surgiu a necessidade de se realizar contagens cada vez maiores o homem foi utilizando outras técnicas, tais como: fazer marcas em madeiras, pedras, barro, tábuas e ossos. Na Tchecolosváquia foi encontrado um osso de lobo com profundas incisões totalizando um número de 55, o interessante é que as marcas estavam dispostas em grupos de cinco. Tal fato ressalta a correspondência que o homem primitivo fazia com os dedos das mãos.
Alguns registros nos mostram de forma ilustrativa que as primeiras práticas de contagem estavam ligadas ao pastoreio. Uma das funções do pastor é controlar seu rebanho, alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando montes de pedra. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal, quando os animais voltavam o pastor retirava do monte de pedras, uma para cada ovelha que passava. Sobravam-se pedras ele ficava sabendo que havia perdido ovelhas, se faltassem ele chegava à conclusão de que seu rebanho havia aumentado.
Uma das provas que os historiadores indicam para esta versão está em nossa língua. A palavra “cálculo” deriva do latim cálculus que significa pedra. Ainda hoje, é muito comum ouvirmos que uma pessoa está com “cálculo renal”, isso quer dizer que está com pedras nos rins.
Esse processo de contagem utilizado nos primórdios foi à ideia inicial para que surgisse a Segunda máquina de calcular, o ábaco. Sua versão primitiva foi usada no Oriente Médio por volta de 2500 a.C. e evoluiu aperfeiçoado pelos chineses onde até hoje é utilizado.
Os babilônicos trabalhavam com um sistema de numeração sexagesimal (base 60) que deu origem às nossas atuais unidades de tempo: hora, minutos, segundos. Há evidências que eles resolviam equações algébricas e podiam prever a existência de eclipses com exatidão e usavam o ponto para representar o número zero, foi a primeira civilização que usou essa representação. Nossa divisão atual da hora em 60 minutos e em 3600 segundos é atribuída aos sumérios assim como a divisão do círculo em 360 graus, cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos. Existem razões para acreditar que a escolha do número 60 e não dos 10 como unidade ocorre pelo fato do número sessenta Ter muitos divisores.
Atualmente, ensinar matemática tem sido tarefa difícil. Às dificuldades somam-se aos problemas causados por uma visão distorcida da matéria, estabelecida desde os primeiros contatos. Um desses problemas é exatamente a descontextualização, o que leva os professores a se defrontarem com perguntas do tipo: “Quem inventou isso não tinha nada para fazer. Para que estudar isso?”. É justamente pelo fato do estudo da matemática ter se tornado uma chatice, uma mesmice, decoreba que nossos alunos jovens e adolescentes não se sentem motivados a aprendê-la e a estudá-la.
Os conhecimentos em história da matemática permitem compreender melhor como chegamos aos conhecimentos atuais, porque se ensina este ou aquele conteúdo.
Estudar desde a necessidade que levou o homem de determinada época a pensar sobre determinado assunto até as aplicações práticas levaria o aluno a se motivar mais, a ficar mais tranqüilo nas avaliações e a ter mais prazer, pois as apresentações ficariam mais claras. Deve-se também retirar a intocabilidade dos pensadores, mostrando as suas dificuldades seus anseios, suas angústias, suas fraquezas fazendo que o aluno perceba que esforço e fracasso também fazem parte da aprendizagem.
Saber como pouco a pouco foram sendo construídos os conceitos e as notações matemáticas, serve também para compreender melhor certos erros dos nossos alunos e poder pôr em prática situações didáticas mais adequadas para uma apropriação progressiva de certos conceitos. Porque é que tantos alunos acham que não são números os números negativos e isto com o professor se empenhando em definir estes conceitos todos os dias? Pode atribuir-se esse erro aos fatos históricos haja vista que os números naturais já existiam desde a Pré-história e os números inteiros só apareceram nos séculos XV e XVI. Será, portanto necessário levar isso em conta no nosso ensino e não esperar ingenuamente que o simples fato de dizer 2 – 5 = – 3 chegue para obter dos alunos a terminologia esperada. O exemplo que acabamos de citar levou muito tempo a ser assimilado, apreendido em todos os seus aspectos e nas suas conseqüências, até pelos grandes matemáticos. É preciso tempo, certa familiaridade com os objetos que se estudam, para podê-los dominar e trabalhar com eles. As dificuldades encontradas pelos alunos nos levam a imaginar outras estratégias de ensino. Os nossos alunos reagem à nossa maneira de expor a matemática. Durante os anos 70, em presença de uma apresentação demasiado formal, em que as fórmulas e as suas demonstrações precediam os exemplos numéricos, os alunos pediam freqüentemente explicações com números, não com letras. Para compreender, eles tinham necessidade de ver funcionar primeiramente os exemplos numéricos para em seguida chegar à regra. Ora este tipo de apresentação encontra-se freqüentemente nos livros antigos. A leitura de tais textos indica que devemos modificar certas práticas de ensino, indica-nos que devemos questionar as nossas práticas. Qual é o papel dos exemplos, da demonstração no ensino da matemática? Que lugar lhe dedicamos e por quê? Qual é a nossa prioridade: a exposição ou a aquisição de conhecimentos?
Tem-se consciência de que um currículo de matemática que se complete com sua história é uma tarefa difícil. A implantação de um currículo desse tipo exigiria um bom conhecimento de história da matemática e principalmente uma mudança na postura dos professores, pois estes transmitem o ensino da mesma forma como lhes foi ensinado, ou seja, do modo formalista clássico.
Como se sabe os professores não estão preparados para essa mudança logo deveria existir cursos de capacitação, pois o enfoque dado a esta matéria é pequeno e visto no final da maioria dos cursos de licenciatura em matemática, sendo que os licenciandos em sua maioria já lecionam desde o início do curso.
É preciso que o interesse pela história da matemática seja mais do que uma moda, ou uma coisa artificial, um novo conteúdo a conhecer e a aprender.
Exemplo de aplicação para uma aula sobre os surgimentos dos números, com o objetivo de levar o aluno a perceber o surgimento da matemática a partir das necessidades do homem e associar o sentido lógico e o sentido psicológico da representação das quantidades, apresentar o sistema decimal e sua importância em nossa cultura e mostrar que esse nem sempre foi o sistema mais utilizado.
Os parâmetros curriculares são elaborados tendo em vista os conceitos modernos da matemática (números, vetores, transformações, etc.), mas o que fornece uma significação a estes conceitos é a própria história da matemática. Os textos da matemática passada permitem questionar esses conceitos e entender a sua necessidade.
O problema do ensino atual da geometria no ensino médio é que os axiomas não são mais explícitos e, neste quadro fica difícil ensinar as técnicas de demonstrações. O estudo de textos como os Elementos ou os problemas da Coleção matemática de Pappus facilita a compreensão das etapas de uma demonstração na medida em que os pré-requisitos são explícitos.
O estudo dos textos históricos permite também estudar várias demonstrações de uma propriedade e a diversidade das soluções de um problema é importante para entender as relações que existem entre diferentes conceitos. Por exemplo, os casos de congruência dos triângulos remetem às propriedades das isometrias do plano e conseguir relacionar uma demonstração utilizando um caso de congruência com uma outra que emprega isometrias fornece uma compreensão mais profunda dos conceitos.
Sabemos que a aritmética e a geometria eram completamente separadas, mas, todavia
Euclides como Pappus e os outros matemáticos ensinava cada uma dessas disciplinas tendo em vista a coerência profunda que elas possuíam. A perda de vista desta perspectiva foi provavelmente causada pela reação à introdução da matemática chamada moderna no ensino e aos exageros que o formalismo acarretou. Mas para ensinar neste contexto onde as noções a serem ensinadas não aparecem como fazendo parte de uma construção, o professor do ensino médio deve conseguir esta perspectiva de unidade das teorias matemáticas e esta só se assimila olhando para a história.
O professor do ensino médio não é apenas professor de matemática. Ele ensina também a língua: a redação das definições, das propriedades e das soluções constitui uma parte importante do seu trabalho. O estudo de textos antigos representa deste ponto de visto um enriquecimento.
O interesse da matemática grega ultrapassa o conteúdo matemático. Assim que nos o ressaltamos na primeira parte, a matemática faz parte de um contexto e se relaciona aos outros domínios da vida social e política e aos outros saberes. Este conteúdo cultural é também uma dos objetivos do ensino.
Muitas vezes a criança pergunta: “Mas para que serve a matemática?” Esta pergunta deve ser entendida como “Mas por que tenho de estudar a matemática?“, já que sem duvida o aluno sabe que para a tecnologia, para a computação a matemática é sem dúvida muito eficiente... A resposta mais adequada é talvez a de Platão que considerava a matemática como uma propedêutica, uma aprendizagem do pensamento...
